쌍둥이 소수

3. 쌍둥이 소수 목록

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43) 등과 같이 작은 수에서 쌍둥이 소수가 발견된다.^[3] (2, 3)은 2가 유일한 짝수 소수이므로 쌍둥이 소수로 간주되지 않는다. 이 쌍은 1만큼 차이가 나는 유일한 소수 쌍이다. 따라서 쌍둥이 소수는 다른 두 소수에 비해 가능한 가장 가깝게 간격을 둔다.

5는 두 쌍에 속하는 유일한 소수이며, (3, 5)보다 큰 모든 쌍둥이 소수 쌍은 어떤 자연수 n에 대해 (6n-1, 6n+1) 형태를 갖는다. 즉, 두 소수 사이의 숫자는 6의 배수이다.^[4] 결과적으로 (3과 5를 제외한) 쌍둥이 소수 쌍의 합은 12로 나누어 떨어진다.

3. 1. 작은 쌍둥이 소수 목록 (74쌍)

4. 쌍둥이 소수 추측

쌍둥이 소수가 무한히 존재하는지에 대한 질문은 오랫동안 풀리지 않은 문제였다. 이는 가 소수인 소수 가 무한히 많다는 것을 의미하는 '쌍둥이 소수 추측'의 내용이다. 1849년 알퐁스 드 폴리냑은 모든 자연수 에 대해 도 소수인 소수 가 무한히 많다는 더 일반적인 추측을 제시했다.^[8] 드 폴리냑 추측에서 = 1인 경우가 쌍둥이 소수 추측이다.

하디-리틀우드 추측(아래 참조)은 쌍둥이 소수 추측의 더 강력한 형태이며, 소수 정리와 유사한 쌍둥이 소수의 분포 법칙을 가정한다.

2013년 4월 17일, 장이탕은 7천만 미만의 정수 이 존재하며, 의 차이가 나는 소수 쌍이 무한히 많다는 것을 증명했다.^[9] 장의 논문은 2013년 5월 초에 게재되었다.^[10] 테렌스 타오는 장의 경계를 최적화하기 위한 Polymath Project 협력 노력을 제안했다.^[11]

장이 발표한 지 1년 후, 경계는 246으로 줄어들었다.^[12] 이러한 개선은 장의 접근 방식보다 간단하고 제임스 메이너드(수학자)와 테렌스 타오에 의해 독립적으로 발견된 다른 접근 방식을 사용하여 이루어졌다. 이 두 번째 접근 방식은 또한 무한히 많은 폭 간격이 최소 개의 소수를 포함하도록 보장하는 데 필요한 가장 작은 에 대한 경계를 제공했다. 엘리엇-할버스탐 추측과 그 일반화된 형태를 가정하면, Polymath Project 위키는 경계가 각각 12와 6이라고 명시한다.^[12]

1849년 폴리냑의 추측은 모든 양의 짝수 에 대해, (즉, 크기가 인 소수 간격이 무한히 많다)를 만족하는 연속하는 소수 쌍 와 가 무한히 많다는 것이다. 인 경우는 쌍둥이 소수 추측이다. 이 추측은 아직 의 특정 값에 대해 증명되거나 반증되지 않았지만, 장이탕의 결과는 이 추측이 적어도 하나의 (현재 알려지지 않은) 값에 대해 참임을 증명한다.^[8]

쌍둥이 소수 추측은 고대 그리스 시대부터 알려져 있었다는 기술도 일부 문헌에서 보이지만, 확증은 얻어지지 않았다. 드 폴리냑은 쌍둥이 소수 추측을 일반화하여 임의의 짝수를 차로 하는 소수 쌍이 무한히 있는가 하는 문제를 제시했다.

골드바흐 추측의 강화는, 증명된다면, 무한히 많은 쌍둥이 소수가 있다는 것을 증명할 것이다. 이 문제는 특히 두 소수의 경우의 골드바흐의 추측과 밀접하게 관련되어 있으며, 체 방법 등의 연구자에 의해 쌍방의 연구가 동시에 진행되어 왔다.

4. 1. 하디-리틀우드 추측

5. 쌍둥이 소수 상수

쌍둥이 소수 상수는 고드프리 해럴드 하디와 존 이든저 리틀우드의 이름을 따서 명명된 하디-리틀우드 추측에 등장하는 상수이다. 이 상수는 소수 정리와 유사하게 쌍둥이 소수를 포함한 소수 자리의 분포에 대한 것이다. 쌍둥이 소수 상수 $C\_2$는 다음과 같이 정의된다.^[17]

:$C\_2\; =\; \backslash prod\_\{\backslash textstyle\{p\; \backslash ;\; \backslash mathrm\{prime,\}\backslash atop\; p\; \backslash ge\; 3\}\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{(p-1)^2\}\; \backslash right)\; \backslash approx\; 0.66016\; 18158\; 46869\; 57392\; 78121\; 10014\; \backslash ldots\; .$

여기서 곱은 모든 소수 $p\; \backslash ge\; 3$에 걸쳐 있다.

하디-리틀우드 추측에 따르면, $x$ 이하의 쌍둥이 소수 쌍의 수는 점근적으로 다음 식으로 주어진다.

:$2C\_2\backslash frac\{x\}\{(\backslash log\; x)^2\}$ 또는 $2C\_2\backslash int\_2^x\; \backslash frac\{dx\}\{(\backslash log\; x)^2\}$

여기서 상수 $C\_2$는 "하디-리틀우드 상수" 중 하나이며, 위에서 정의된 값과 같다.

6. 알려진 가장 큰 쌍둥이 소수

2016년 9월, 분산 컴퓨팅 프로젝트인 쌍둥이 소수 탐색과 프라임그리드를 통해 당시까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수인 2996863034895×2^1290000±1^영어가 발견되었다. 이 쌍둥이 소수는 십진법으로 388,342자리이며, 발견자는 미국의 Timothy D. Winslow이다.^[18][19]

6. 1. 발견 역사

7. 브룬의 정리

비고 브룬은 1915년에 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 것을 보였다.^[5] 이 결과는 브룬의 정리라고 불리며, 브룬 체를 처음으로 사용한 것이었고 현대 체 이론의 발전에 기여했다.

보다 작은 쌍둥이 소수의 개수는 최대 $O\backslash left(\; x/(\; \backslash log\; x)^2\; \backslash right)$이다. 따라서, 와 가 모두 소수인 경우, 다음 식은 수렴한다.

:$B\_2\; =\backslash sum\_p\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; +\backslash frac\{1\}\{p+2\}\; \backslash right)$ (쌍둥이 소수의 역수합)

이 값을 브룬 상수()라고 하며, 약 1.90 정도이다. 소수의 역수 합은 발산하므로, 소수 중에서 쌍둥이 소수는 많지 않다고 할 수 있다.

브룬 상수 의 2005년 시점에서의 가장 정확한 값은 이다. 이 값은 까지 나타나는 쌍둥이 소수를 사용하여 구했다.^[23]

1994년에 브룬 상수를 계산하는 과정에서 P54C 펜티엄의 부동 소수점 연산 명령에 버그가 존재함이 발견되어 화제가 되었다.

8. 기타 성질

5는 두 쌍둥이 소수 쌍에 모두 속하는 유일한 소수이다.^[3] (3, 5)를 제외한 쌍둥이 소수 쌍의 합은 12로 나누어 떨어진다.^[4]

모든 세 번째 홀수는 3으로 나누어 떨어지므로, 연속하는 세 개의 홀수가 모두 소수이려면 그 중 하나가 3이어야 한다. 따라서 5는 두 쌍둥이 소수 쌍에 모두 포함되는 유일한 소수이다.^[3] 쌍의 작은 수는 정의상 첸 소수이다.

만약 ''m'' − 4 또는 ''m'' + 6도 소수이면, 세 소수는 소수 삼중항이라고 불린다.

(''m'', ''m'' + 2) 쌍이 쌍둥이 소수인 조건은 다음과 같다.^[22]

:$4((m-1)!\; +\; 1)\; \backslash equiv\; -m\; \backslash pmod\; \{m(m+2)\}.$

어떤 자연수 ''n'' > 1에 대해 (6''n'' − 1, 6''n'' + 1) 형태의 쌍둥이 소수 쌍에서, ''n''은 숫자 0, 2, 3, 5, 7 또는 8로 끝나야 한다. 만약 ''n''이 1 또는 6으로 끝난다면, 6''n''은 6으로 끝나고, 6''n'' −1은 5의 배수가 되므로 ''n'' = 1이 아니면 소수가 아니다. 마찬가지로, 만약 ''n''이 4 또는 9로 끝난다면, 6''n''은 4로 끝나고, 6''n'' +1은 5의 배수가 된다.

(3, 5)를 제외한 모든 쌍둥이 소수는 (6''n'' − 1, 6''n'' + 1) (''n''은 특정 자연수) 형태이며, 이는 (3, 5)를 제외한 쌍둥이 소수끼리의 합이 항상 12의 배수임을 의미한다.

처음 2쌍을 제외하고, 쌍둥이 소수의 일의 자리는 (십진법에서) (1, 3), (7, 9), (9, 1) 중 하나이다.

''x''보다 작은 쌍둥이 소수의 개수는 최대 $O\backslash left(\; x/(\; \backslash log\; x)^2\; \backslash right)$이다.

''p'' + 2가 최대 2개의 소수의 곱이 되는 소수 ''p''를 천 소수로 정의했을 때, 무한 개의 천 소수의 3항 등차 수열이 존재한다.

(''n'', ''n'' + 2)가 쌍둥이 소수이기 위한 필요충분 조건은 $4\{(\text{'}\text{'}n\text{'}\text{'}\; -\; 1)!\; +\; 1\}\; +\; \text{'}\text{'}n\text{'}\text{'}\; \backslash equiv\; 0\; (mod\; \text{'}\text{'}n\text{'}\text{'}(\text{'}\text{'}n\text{'}\text{'}\; +\; 2))$이다.

9. 관련 추측 및 정리

쌍둥이 소수가 무수히 존재하는가 하는 문제는 아직 수학의 미해결 문제이다. 소수가 무수히 존재한다는 것은 고대 그리스 시대부터 알려져 있었고, 유클리드의 『원론』에 그 증명이 나와있다.

하디-리틀우드 추측에서는 쌍둥이 소수 쌍의 수에 대한 점근적인 분포 공식을 예상하고 있다. 이하의 쌍둥이 소수 쌍의 수는 점근적으로

:$2C\backslash frac\{x\}\{(\backslash log\; x)^2\}$ 또는 $2C\backslash int\_2^x\; \backslash frac\{dx\}\{(\backslash log\; x)^2\}$로 주어진다. 여기서 상수 C는 "하디-리틀우드 상수" 중 하나로, 다음과 같은 무한곱으로 정의된다.

:$C=\backslash prod\_\{p>2\}\; \backslash left\backslash \{\; 1-\backslash frac\{1\}\{(p-1)^2\}\; \backslash right\backslash \}\; =0.6601\backslash cdots$

이 문제는 두 소수의 경우의 골드바흐의 추측과 밀접하게 관련되어 있으며, 체 방법 등을 통해 두 추측에 대한 연구가 동시에 진행되어 왔다.

• $(3,\; 5)$를 제외한 모든 쌍둥이 소수는 $(6n\; -\; 1,\; 6n\; +\; 1)$ (n은 특정 자연수) 형태이다. 이는 $(3,\; 5)$를 제외한 쌍둥이 소수끼리의 합이 항상 12의 배수임을 의미한다.
• 처음 2쌍을 제외하고, 쌍둥이 소수의 일의 자리는 (십진법에서) $(1,\; 3),\; (7,\; 9),\; (9,\; 1)$ 중 하나이다.
• $x$보다 작은 쌍둥이 소수의 개수는 최대 $O\backslash left(\; x/(\; \backslash log\; x)^2\; \backslash right)$이다. 따라서, $p$와 $p\; +\; 2$가 모두 소수인 경우, 다음 식은 수렴한다.
• :$B\_2\; =\backslash sum\_p\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{p\}\; +\backslash frac\{1\}\{p+2\}\; \backslash right)$ (쌍둥이 소수의 역수합)

9. 1. 폴리냑 추측

9. 2. 엘리엇-할버스탐 추측

9. 3. 장이탕의 정리

9. 4. 메이너드와 타오의 정리

10. 고립된 소수

''p'' - 2와 ''p'' + 2가 모두 소수가 아닌 소수 ''p''를 '''고립 소수'''(또는 '''단독 소수''' 또는 '''비 쌍둥이 소수''')라고 한다. 즉, ''p''는 쌍둥이 소수 쌍에 속하지 않는다. 예를 들어, 23은 21과 25가 모두 합성수이므로 고립 소수이다.

처음 몇 개의 고립 소수는 다음과 같다.

2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, ...

브룬의 정리에 따르면, 거의 모든 소수는 고립 소수이며, 이는 주어진 임계값 ''n''보다 작은 고립 소수의 수와 ''n''보다 작은 모든 소수의 수의 비율이 ''n''이 무한대로 갈 때 1로 수렴한다는 의미이다.

참조

_[1] 간행물 Yitang Zhang's spectacular mathematical journey https://www.ias.edu/[...] Institute for Advanced Study Summer 2014
_[2] AV media Small and large gaps between the primes https://www.youtube.[...] UCLA Department of Mathematics 2014-10-07
_[3] 웹사이트 The first 100,000 twin primes (only first member of pair) https://primes.utm.e[...] University of Tennessee, Martin
_[4] 웹사이트 Are all primes (past 2 and 3) of the forms {{math|6''n''+1}} and {{math|6''n''−1}}? https://primes.utm.e[...] University of Tennessee, Martin 2018-09-27
_[5] 논문 Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare
_[6] 서적 Analytic Number Theory World Scientific
_[7] 서적 Sieve Methods Dover Publications
_[8] 논문 Recherches nouvelles sur les nombres premiers https://babel.hathit[...]
_[9] 뉴스 First proof that infinitely many prime numbers come in pairs http://www.nature.co[...] 2013-05-14
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_[11] 웹사이트 Polymath proposal: Bounded gaps between primes http://polymathproje[...] 2013-06-04
_[12] 웹사이트 Bounded gaps between primes http://michaelnielse[...] 2014-03-27
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_[14] 논문 Small gaps between primes or almost primes
_[15] 논문 Small gaps between primes
_[16] 논문 Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes
_[17] OEIS 2019-11-01
_[18] 웹사이트 2996863034895 × 2{{sup|1290000}} − 1 http://primes.utm.ed[...] UT Martin
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_[20] OEIS 2019-11-01
_[21] 웹사이트 Tables of values of {{math|''π''(''x'')}} and of {{math|''π''{{sub|2}}(''x'')}} http://www.ieeta.pt/[...] Aveiro University 2011-01-07
_[22] 논문 Congruences for sets of primes http://www.math.ston[...] 1949-01
_[23] 문서 Proof of Infinitely many Twin Primes http://arxiv.org/abs[...]
_[24] 웹사이트 The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1 https://primes.utm.e[...]
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_[26] citation The prime tuples conjecture, sieve theory, and the work of Goldston-Pintz-Yildirim, Motohashi-Pintz, and Zhang https://terrytao.wor[...] 2013-06-03
_[27] 문서 別の表現をすると「素数が2個含まれる連続した {{math|600}} の整数の組の最大値は存在しない」
_[28] 뉴스 素数の間隔で新定理発見　極端な偏りなく分布、米英数学者 https://www.chibanip[...] 千葉日報オンライン 2014-02-26
_[29] 뉴스 素数の新定理発見　極端な偏りなく分布　米英数学者「夢のような成果」 http://www.sponichi.[...] 2014-02-26
_[30] 뉴스 素数の間隔で新定理発見　極端な偏りなく分布、米英数学者 http://www.47news.jp[...] 2014-02-26
_[31] citation Fields Medals 2022 https://www.mathunio[...] 국제수학연합 2022-07-05
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